7.2指數(shù)的設(shè)定和符號表示

目前在工業(yè)和科學(xué)領(lǐng)域有不同的符號用于多元過程能力指數(shù)的定義。目前所使用的符號試圖將不 同的計算類型區(qū)分開來或僅限某些計算類型特定使用。本部分使用C，和/或C作為多元過程能力指 數(shù)的基本定義。此外，在應(yīng)用指數(shù)時，通過用大寫字母“C”表示“能力（capability)”，用大寫字母“P”表示 “性能（performance)”，從而將過程能力指數(shù)和過程性能指數(shù)區(qū)分開來。

7.2.2Ia型過程能力指數(shù)

考慮一個均值向量為μ、協(xié)方差矩陣為的d元正態(tài)分布N。（μ，）。如果容差區(qū)域不呈橢 d=2,則橢圓狀指圓或橢圓；若d=3，則是指球體或橢球；若d>3建材標(biāo)準(zhǔn)，則指超球體或超橢球），則將

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過變換將其修正為一個呈橢圓形狀的容差區(qū)域。修正后的容差區(qū)域為包含于原容差區(qū)域內(nèi)的最大橢圓 （橢球或超橢球），且其中心與目標(biāo)值重合。 為了計算多變量C，指數(shù)，設(shè)定正態(tài)分布的均值為橢圓容差區(qū)域的中心。在該正態(tài)分布下，確定完 全包含在橢圓容差區(qū)域內(nèi)的最大等高橢圓，基于均值為橢圓容差區(qū)域中心、協(xié)方差矩陣為的d元正 態(tài)分布計算落入最大等高橢球內(nèi)的概率，記為P，則多元過程能力指數(shù)為

在圖2中，概率為99.73%的等高橢圓完全包含在用于計算過程能力指數(shù)的等高橢圓中。在這利 下，過程能力指數(shù)將大于1。

圖2用于計算d=2情形下過程能力指數(shù)等高圓和容差區(qū)域

乃沿用一元正態(tài)分布下經(jīng)典的能力指數(shù)的符號C，表示多元過程能力指數(shù)。這樣做是因為這 程能力指數(shù)的方法在一元情形算出的就是經(jīng)典的C，指數(shù)。A.1給出了相關(guān)解釋，

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7.2.3Ia型最小過程能力指數(shù)

C指數(shù)的計算涉及分布的均值和方差，因此要考慮均值為μ、協(xié)方差矩陣為的d元正態(tài)分布。 對于N（μ，Z）分布，先做如下計算（見圖3）： 如果過程均值μ包含在容差區(qū)域內(nèi)，則找到完全包含在橢圓容差區(qū)域內(nèi)的最大等高橢圓（橢 球或超橢球）； 如果過程均值μ不包含在容差區(qū)域內(nèi)，則找到不包含在容差區(qū)域內(nèi)的最大等高橢圓（橢球或 超橢球）。 然后在過程服從N。（μ，Z)的多元正態(tài)分布情形下，計算過程值落人等高橢圓（橢球)內(nèi)的概率P 最后，計算C際指數(shù)： 如果過程均值u在容差區(qū)域內(nèi)，則

如果過程均值μ不在容差區(qū)域內(nèi)，則

此處使用與一元正態(tài)分布的經(jīng)典C指數(shù)相同的符號。同樣，這是因為這種計算方法在一元情形 下給出的即為經(jīng)典指數(shù)。A.1給出了相關(guān)解釋。 圖3給出了一個計算C的圖示，其中概率為99.73%的等高橢圓完全包含在用于計算最小過程能 力指數(shù)的等高橢圓中。 注：本部分所描述的Ia型指數(shù)可應(yīng)用于幾何尺寸和位置偏差的容差。這里，容差區(qū)域通常描述了一個圓形容差 帶。在這種情形下經(jīng)常使用符號Cp和Cpek來分別代替C，和C。

7.3Ic 型和 Ic型過程能力指數(shù)

用于計算d=2情形下過程能力指數(shù)的容差區(qū)域

Ic型及Ⅱc型過程能力指數(shù)的特點是，可通過一個與功能相關(guān)的變換函數(shù)將過程的多元特征轉(zhuǎn) 單一特征。在這種類型下，原始特征向量x間的相關(guān)性可以通過變換函數(shù)q(x)得到合理的解釋。

種變換可以最大程度地提取x中單 變量的原始信息并合理地解釋原始變量間的相關(guān)性。例如，變換 函數(shù)可用以描述容差區(qū)域模型，并且可以被解釋為權(quán)重函數(shù)，如一種質(zhì)量損失函數(shù)或衡量技術(shù)功能性的 量化函數(shù)。 Ic型和IIc型指數(shù)的計算遵循四個步驟，見圖4

圖4計算Ic型或Ic型過程能力指數(shù)的步驗

第一步涉及d維容差域的變換函數(shù)q(x)的定義。該函數(shù)在容差區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)值點取到最大值記 為qmx。在容差區(qū)域的邊界，q（x）的值為qbound。在某些情形下，qmax和qbound可以根據(jù)組成x的所有單 變量的技術(shù)內(nèi)涵導(dǎo)出。在其他情形下，對qmax和qbound合理的賦值為：qmx=1和qbound=0.5。函數(shù)q（x） 可以用顯式方程或者分段線性函數(shù)表示。圖5給出了分段線性函數(shù)的示例

圖5MMC下寬度/對稱容差區(qū)域的變換函數(shù)示

在圖5中，多變量由兩個幾何特征組成：寬度和位置。最天實體狀態(tài)（MMC）下的容差區(qū)域皇復(fù) 形和三角形。第8章中給出了相關(guān)示例的進(jìn)一步說明。目標(biāo)設(shè)在qmx=1時對應(yīng)的名義值。從該 容差區(qū)域邊界延伸，變換函數(shù)的值逐漸遞減。因此，可以定義不同的函數(shù)趨勢：線性、指數(shù)或其他。

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C pk = q50% q50% — q0.135%

且型多元過程能力指數(shù)遵循的原則為：建立容差區(qū)域即規(guī)格區(qū)域范圍和過程變差區(qū)域范圍間的 這些范圍以面積或體積的形式表示。Vtol表示容差區(qū)域的面積或體積，Vproe表示過程變差區(qū)域的 或體積。因此，對于此類過程能力指數(shù)，可以定義如下

引入指數(shù)α是為了一元情形下面積或體積的概念仍適用。因此，α通常取1/d。否則，α取1。 為了使面積或體積具有可比性，有時需要改變區(qū)域（容差區(qū)域或過程變差區(qū)域)的形狀。Ⅱa型指 將原始容差區(qū)域變換為一個與過程變差區(qū)域形狀相似的容差區(qū)域（例如，在多元正態(tài)分布的情形下為 蔭圓/橢球/超橢球）。對于Ⅱb型指數(shù)來說，則是將過程變差區(qū)域進(jìn)行變換。在這種情形下，要調(diào)整過 程變差區(qū)域的形狀以適合容差區(qū)域的形狀。參考文獻(xiàn)[10]中比較了Ⅱa型和Ⅱb型指數(shù)。 此類過程能力指數(shù)僅考慮與容差相關(guān)的過程離散性方面的信息，因此該指數(shù)應(yīng)同時與一個或多個 包含由均值向量u表征的位置和目標(biāo)值之間關(guān)系信息的指數(shù)配合使用

修正的容差區(qū)域仍是以目標(biāo)值為中心且完全包含在原始容 內(nèi)的最大 球或超確 t表示橢球半軸的長度，則體積V由下式給出

兩者綜合得到Cpm，其值可由下式估計：

參考文獻(xiàn)「8中描述了此類PCI的示例。

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Vtol 1x r(1+號)

(元·X0.997 3)4/ r(1+%) .S

ⅡIb型PCI的定義參見參考文獻(xiàn)[9]。過程變差區(qū)域的形狀由橢圓形變換為容差區(qū)域的形狀。在 差區(qū)域形狀為矩形（長方體/超長方體）的情形下，修正的過程變差區(qū)域形狀應(yīng)是包含給定橢圓（橢球） 橢球）的最小矩形（長方體/超長方體）�；�于每一個維度下L和U的橢圓（橢球/超橢球）投影區(qū)間 更可定義PCI 參考文獻(xiàn)[97中描述了此類PCI的示例

8.1.1Ia型過程能力指數(shù)

在生產(chǎn)的零件上，對所鉆孔的中心進(jìn)行測量 方向的標(biāo)稱值為80mm，Y方向的標(biāo) 稱值為一116.5mm。孔的直徑為50mm，容差為士0.05mm。關(guān)于幾何容差的信息在GB/T1182中 給出。 現(xiàn)得到100套生產(chǎn)零件的位置測量值（見表1）。 測量的零件數(shù)：n=100

y=116.750mm

根據(jù)表1中的數(shù)值，構(gòu)建了兩套控制圖，見圖7。 在圖8中給出了（X，Y)觀測值的散點圖，并計算出了離差區(qū)間。用于計算區(qū)間的方法參見附錄A。

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表1測量值和計算出的中心偏差

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以橢圓區(qū)域（3)為參照的位置容差和規(guī)范區(qū)域的圖

圖7中的X坐標(biāo)和Y坐標(biāo)的控制圖均表明過程是失控的。因此，只能計算過程性能。 結(jié)果： 過程性能指數(shù)：P，=2.43 最小性能指數(shù)：Pk=1.48 P。的95%置信區(qū)間的上下限為：Pp.low=1.99，Pp.up=2.88。 對于Pk： P pk.low = 1.19, P k.sp = 1.48 。

.1.2通過使用與目標(biāo)的距離計算Ic型能力指

將圖6中的孔的中心指定為目標(biāo)位置（α。，y。）=（80，一116.5）。測量了實際每個孔中心的位置坐 標(biāo)（，y），它與目標(biāo)位置的距離偏差為：

在表1中可找到距離D的實際計算值。 所有偏差值都繪制在圖9所示的直方圖中。最大允許偏差為0.25mm，因為容差帶是以目標(biāo)值為 中心的、直徑為0.5mm的圓形區(qū)域，所以此處最大允許偏差即為該圓的半徑。

在表1中可找到距離D的實際計算值。 所有偏差值都繪制在圖9所示的直方圖中。最大允許偏差為0.25mm，因為容差帶是以目標(biāo)值為 中心的、直徑為0.5mm的圓形區(qū)域，所以此處最大允許偏差即為該圓的半徑。

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如果產(chǎn)品是以目標(biāo)值為中心生產(chǎn)出的，則實際數(shù)據(jù)集的分布將會呈瑞利分布。然而，在這種所有雙 直都位于目標(biāo)值之上的特殊情形下，正態(tài)分布擬合良好。 控制圖中數(shù)據(jù)沒有顯示出穩(wěn)定性（見圖10）。在這種情形下，只能計算P指數(shù)。 過程能力指數(shù)的計算： 由于不存在下規(guī)范限，所以無法計算過程能力指數(shù)。 最小過程能力指數(shù)：

8.2插槽的位置和尺寸

如圖5所示，要在一個零件上開個插槽，其技術(shù)功能是將第二個零件放在特定位置。凹槽的寬度

要在一個零件上開個插槽，其技術(shù)功能是將第二個零件放在特定位置。凹槽的寬度為

GB/T 40681.6—202120mm士0.2mm。為了確保零件正確安裝，當(dāng)插槽尺寸處于其最大實體尺寸（19.8mm)時，插槽相對于“A”的位置容差為0.1mm。該最大實體狀態(tài)由符號?表示。實際上，如果算上插槽的實際寬度與最大實體尺寸之間的差，插槽位置的偏差值不超過0.1mm，則零件仍是可以接受的。圖5中的矩形給出了在不應(yīng)用最大材料條件的情況下的容差區(qū)域。矩形右側(cè)擴(kuò)展出的直角三角形給出了由于MMC而引起的擴(kuò)展容差。第一步，定義多變量x的函數(shù)g(x），其中x；表示寬度，x?表示位置。所選函數(shù)由三個線性函數(shù)qi組成，函數(shù)形式為：q:=a1ix十a(chǎn)2ix2十a(chǎn)oi，其中i=1,2,3。設(shè)置適當(dāng)?shù)南禂?shù)值以滿足q(x)在目標(biāo)值處取得最大值qmx=1，在容差區(qū)域邊界處取得qbounl=0.5。附錄D給出了確定q（x）函數(shù)的方法。第二步，獲取過程數(shù)據(jù)x。為便于演示，以銑削加工過程為例，從中獲取50對觀測值。寬度和位置的測量值匯總在表2中。對于每個點，計算變換函數(shù)q(1，r2)的對應(yīng)值。在圖5中給出數(shù)據(jù)的散點圖且在圖11中給出單個量的控制圖。表2測量值和計算的q值寬度位置寬度位置寬度位置序號q序號q序號mmmmmmmmqmmmm10.74420.1020.06180.82820.0690.09350.86220.0330.11620.84520.0620.11190.89920.040.091360.87920.0270.10.85820.0160.102200.80720.0070.123370.67120.1310.07440.84620.0350.127210.83820.0650.083380.86520.0260.10750.82920.0680.075220.78120.0870.071390.89720.0350.0970.90620.0380.091230.86620.0530.09400.77720.0010.13570.76320.0020.144240.88820.0450.096410.77120.0090.14680.78920.0840.074250.89720.0410.102420.82320.0260.1320.79820.0010.122260.76820.0930.084430.8420.0120.108100.79720.0810.069270.82420.070.084440.83220.010.111110.84120.0630.09280.8520.060.116450.87520.050.112120.87420.050.085290.82520.070.091460.88420.0310.101130.73120.1080.068300.84320.0630.097470.89420.0420.091140.79220.0830.076310.84320.0630.114480.85220.0180.106150.76320.0950.081320.81820.0730.07490.83220.0250.126160.88820.0450.081330.920.0360.096500.85420.0580.091170.81520.0080.119340.75519.9920.139從圖5可以看出，寬度和位置偏差是相關(guān)的。較高的寬度值對應(yīng)著較低的位置偏差值。圖11中的b)和c)表明該過程的起初階段寬度值高且位置值符合規(guī)范限。由于刀具磨損或其他系統(tǒng)的影響，寬度在減小，位置偏差增大。位置偏差超過了0.1mm的上規(guī)范限，此時由于最大實體狀態(tài)而仍落在容差區(qū)域。圖11中的a)顯示了q值的走向。隨著過程向量朝著目標(biāo)值的方向移動，這些數(shù)值呈現(xiàn)出小幅度上升趨勢，在接近容差限時，這些數(shù)值又呈現(xiàn)出下降趨勢。14

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第三步，確定9值的分布。雖然因為趨勢原因而使得寬度和位置偏差的分布呈非正態(tài)分布，但仍口 為q值找到合適的分布。圖12給出了用于擬合q值的皮爾遜（Pearson)型分布的密度函數(shù)。

圖12確定值分布的直方圖和分布密度函數(shù)

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基于該密度曲線以及容差限處Qbound=0.5，II型PCI的估計如下： Ic型過程能力指數(shù)：

0.8375—0.5 0.837 50.641 4 =1.72 9.50% 90.135%

Ppk= 5.73 =1.91

此外，在適用寬度互易性要求的情形下（通過在圖中寬度的后面加上?），可簡化q：的表達(dá)式。通 過對寬度的額外監(jiān)控，可使用表達(dá)式q=1一19.7一2作為變換函數(shù)的定義。在這種情形下，qboumd=0 適用，對合格產(chǎn)品有Q>0。

計算過程能力指數(shù)中多元正態(tài)分布有用的性質(zhì)

均值為u、協(xié)方差矩陣為的d元正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

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當(dāng)d=1時，該輪廓為區(qū)間的端點；當(dāng)d=2時，該輪廓為橢圓；當(dāng)d≥3時，該輪廊為橢球。 過程值落在橢圓輪廓區(qū)域內(nèi)的概率可以根據(jù)自由度為d的X分布來計算。如果X服從均值為 L、協(xié)方差矩陣為Z的d元正態(tài)分布，那么

其中Fz2(d)表示目由度為d的義"分布的分布函數(shù)。 由此得出，X落人以輪廊橢球

為邊界的區(qū)域的概率為p。此處F2a)（p）是自由度為d的X分布的p分位數(shù)，有時也記 為X（d）。 如果X，，X，是來自均值為μ、協(xié)方差矩陣為的d元正態(tài)分布的樣本，則μ和的估計為

其中“”讀作“由…估計”

A.2定義多元過程能力的出發(fā)點

首先考慮一維情形下的C。指數(shù)。 容素區(qū)日為工 程分布的中心與容差中心重合。那么過程值落入容差區(qū)間（規(guī)格區(qū)間)內(nèi)的概率為： L+U L+U L+U

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其中P是過程分布服從均值為容差中心、方差為。的正態(tài)分布時，過程值位于容差區(qū)間內(nèi)的 概率。 接下來考慮一維情形下的C、Cpku和Ck指數(shù)�？紤]均值為u、方差為α的正態(tài)分布，且假定 大于(U十L)/2但小于U，即過程均值μ在容差區(qū)間內(nèi)，但是μ更接近容差區(qū)間上限而非下限。那么 這種情形下以過程均值為中心且完全包含于容差區(qū)間的最大區(qū)間為[2μ一UU]，則過程值位于該區(qū)間 內(nèi)的概率為，

2Φ —1=2Q(3Cpk）—1

當(dāng)μ大于（U+L)/2時，則Cpku小于Ckl且 C =min(Cpku,Cpkl ) =Cpk 如果μ介于L和(U十L)/2之間，則類似的計算給出

在這兩種情形下，C的公式為

在這種情形下，Cpku小于Cpkl且 Cpk=min(Cpku,Cpkl.)=Cpk 因此該公式適用于C，即

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把該定義推廠到多元止態(tài)分布過程的能力指數(shù)，其想法是原定義中的區(qū)間在二元止態(tài)分布情形下 d=2時）用橢圓代替，而在多元正態(tài)分布情形下（d≥3時）用橢球代替。 考慮協(xié)方差矩陣為的d元正態(tài)分布。為了計算多元C。指數(shù)，應(yīng)將該正態(tài)分布的均值設(shè)定在容 差區(qū)域的中心。在此假設(shè)條件下要確定完全包含在容差區(qū)域內(nèi)的最大輪廊橢球，并確定在協(xié)方差矩陣 為均值位于容差區(qū)域中心的d元正態(tài)分布下，過程值位于該最大輪廓橢球內(nèi)的概率。由P表示此概 率。那么，多元C，指數(shù)為

為了從&維數(shù)據(jù)中估計Cp指數(shù)，首先要由該數(shù)據(jù)來估計多元正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣。用≥表示 估計值并使用該協(xié)方差矩陣來確定輪廊橢球及相應(yīng)概率P。最后，多元C，指數(shù)的估計為

C指數(shù)的計算涉及分布的均值和方差，因此考慮均值為μ、協(xié)方差矩陣為的d元正態(tài)分布。對 于N。（μ建筑施工組織設(shè)計，Z)分布，如果過程均值μ含在容差區(qū)域內(nèi)，那么最大的輪廓橢球完全含于容差區(qū)域內(nèi)；如果 過程均值μ不包含在容差區(qū)域內(nèi)，那么最大的輪廓橢球不包含在容差區(qū)域內(nèi)。現(xiàn)在，在N。（μ，Z)分布 下，計算過程值位于該最大輪廊橢球內(nèi)的概率P。最后，C指數(shù)計算如下： 如果過程均值μ包含在容差區(qū)域內(nèi)，則

為從d維數(shù)據(jù)來估計C指數(shù)，首先要由該數(shù)據(jù)中估計多元正態(tài)分布的均值和協(xié)方差矩陣，分另 和≥�，F(xiàn)在，C指數(shù)的估計仍按上述原則計算，但要基于N。（i，≥)分布。故有如下公式 如果在容差區(qū)域內(nèi)，則為

果在容差區(qū)域內(nèi)，則為

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附錄B （資料性附錄） 軸不平衡示例

測量尺寸不平衡描述了以轉(zhuǎn)子的形狀軸為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)子的（實際）質(zhì)量分布與理想質(zhì)量分布之間的偏 差。不平衡的軸向分布通過與兩個不同平面相關(guān)的不平衡指數(shù)來評估。目前轉(zhuǎn)子方案的選擇是隨機(jī) 的。然而，對于過程能力的測量來說，所有不平衡容差和殘余不平衡值的指數(shù)都是從相同方案中顯示出 來的，這一點非常重要。有關(guān)尺寸不平衡的更全面的定義和解釋，見參考文獻(xiàn)中的詳細(xì)解釋。因為已有 相關(guān)參考文獻(xiàn)為基礎(chǔ)，所以此處使用的技術(shù)術(shù)語不再給出定義， 要進(jìn)行校準(zhǔn)的不同轉(zhuǎn)子數(shù)量非常多。原則上，本部分描述的統(tǒng)計方法與轉(zhuǎn)子尺寸無關(guān)。但是，某些 轉(zhuǎn)子尺寸、加速度以及制動過程非常耗時，在這種情況下，可以在轉(zhuǎn)子恒速轉(zhuǎn)動周期內(nèi)進(jìn)行重復(fù)測量。 測量尺寸不平衡的一個特征是它是二元的量。在此示例中，描述了過程能力的計算。校準(zhǔn)過程的 目的在于，考慮到約定的能力指數(shù)，從而對容差域給出的殘余不平衡作限制。殘余不平衡的分布既包含 隨機(jī)失效影響，也包含系統(tǒng)故障影響。這些觀測到的二元尺寸偏差與容差域之間所存在的差異，在本部 分通過使用PCI而進(jìn)行了闡釋。 作為結(jié)果，完全明確地區(qū)分二元量或單變量形式下的正確計算或錯誤計算是不可能的。因此，（正 常情況下）二元量變量是更為優(yōu)選的。而在所描述的兩種例外情況下，單變量計算則最符合實際情況。 但是，參與過程評估的各方需事先就所述評估方法的合理使用達(dá)成一致。 以這種方式出現(xiàn)的指數(shù)是根據(jù)單變量尺寸過程能力的經(jīng)驗按比例進(jìn)行縮放的。盡管過程能力指數(shù) 的設(shè)計基于相同的理念，但是對過程能力指數(shù)值對應(yīng)的質(zhì)量要求，比如1.67，在沒有比較的情況下，可能 對于二元測量過程的要求比單變量測量過程的要求更高。 另一個對校準(zhǔn)過程統(tǒng)計評估有影響的重要量是存在或不存在轉(zhuǎn)子內(nèi)角系統(tǒng)。例如電錨通常不具有 其自已的角度系統(tǒng)標(biāo)記。相反，曲軸則有明確的、適合使用的角度系統(tǒng)。在第一種情況下，重復(fù)的不平 衡測量（假定每次測量的結(jié)果都沒有錯誤）通常對該不平衡顯示出相同的效果，盡管每次測量都是來自 另一個不同的角度。此外，在轉(zhuǎn)子生產(chǎn)過程中給定的情況下，可能會導(dǎo)致前提條件（二元正態(tài)分布）不能 滿足此處所描述的計算

施工管理標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范范本B.2檢查能力指數(shù)的示例

用控制圖可以證明過程的穩(wěn)定性， 不平衡測量在兩個不同的測量水平進(jìn)行。 不平衡的規(guī)范限是140gmm。 在機(jī)器上進(jìn)行校準(zhǔn)的曲軸樣本量為n=40。 表B.1可獲得殘余不平衡值。它們的圖示見圖B.1和圖B.2。

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