圖3黏度序列的殘差以及3c控制限的單值X圖

4.3調(diào)整控制限的控制圖

4.3調(diào)整控制限的控制

水利軟件、計(jì)算黏度序列殘差的自相關(guān)函數(shù)及其近似95%置信

與殘差圖相比，更直接的方法是：不建立時(shí)序模型，而直接對控制圖的控制限進(jìn)行調(diào)整�；�于此 得到了一些方法，然而他們僅適用于一些特定的過程，如AR(1)過程10]。參考文獻(xiàn)[11]提出了平 程的監(jiān)測EWMA的方法，即EWMAST控制圖，適用于常規(guī)意義的平穩(wěn)過程�；�于下面的統(tǒng)計(jì)量

假設(shè)過程序列《X，;t=1,2，，N）是均值為μ方差為。的平穩(wěn)序列。當(dāng)t值很大時(shí)，Z，的方差 可近似為：

具中，M是整數(shù)，β（K）是間隔為k的過程目相關(guān)系數(shù)。注意，當(dāng)過程不存在目相關(guān)性時(shí)，2與傳 統(tǒng)EWMA控制圖相同。假設(shè)X，服從正態(tài)分布，那么Z，也服從均值為μ的正態(tài)分布。Z.在圖上打點(diǎn)， 得到EWMAST控制圖，控制圖的中心線位于的位置，且Lzo控制限由下式給出：

一般情況下，宜使用入=0.2t11]，Lz通常取2或3。當(dāng)μ、6和自相關(guān)系數(shù)未知時(shí)，通常用過程處于 統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)的歷史數(shù)據(jù)（X，)的算術(shù)平均值元、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s和樣本自相關(guān)系數(shù)β（k）來進(jìn)行估計(jì)。 在用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)系數(shù)時(shí)，可以使用一些經(jīng)驗(yàn)法則。參考文獻(xiàn)[12（第32頁)表明，只有當(dāng)數(shù)據(jù) 量N≥50且k≤N/4時(shí)，才能得到有效的β（k）估值。因此，公式（2)中的M宜足夠大，使得公式（2)給 出的近似值可使用；同時(shí)M要小于N/4，以避免自相關(guān)系數(shù)的估值有較天的誤差。模擬研究表明，當(dāng) N≥100時(shí)，M=25是推薦的取值[11]。 為了更直觀地加以說明，以=0.5、方差。=1、鏈長為200的AR(1)過程的模擬數(shù)據(jù)為例。白噪 聲（見A.3.2）服從正態(tài)分布。前100個(gè)觀測值的過程均值為0。從第101個(gè)觀測值，過程均值出現(xiàn)從 ～1（即1c）的階躍變化。圖5給出這些模擬數(shù)據(jù)的折線圖

圖5列舉EWMAST圖對AR(1）過程的實(shí)現(xiàn)

若將前100個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的過程視為平穩(wěn)的，據(jù)此對過程的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和樣本的自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行估 計(jì)，得到元=一0.10,S=0.91，以及（k）（k=1,2，**，25）。取M=25，入=0.2，由公式（2)得到，Z，標(biāo)準(zhǔn) 差的估值z=0.24。圖6為中心線為元=一0.10、3c控制限由元±36z=（一0.81；0.60）給出的EW MAST控制圖。該控制圖發(fā)出警報(bào)：從第110個(gè)觀測值開始，控制圖監(jiān)測到過程均值增大。

4.3.2調(diào)整的 CUSUM 控制圖

圖6用于圖5均值增大的模擬數(shù)據(jù)的EWMAST控制圖

參考文獻(xiàn)3討論了在過程自相天牧 USUM控制圖直接處理原始數(shù)據(jù)的效果。在過程 自相關(guān)較強(qiáng)時(shí)，則考慮使用經(jīng)過處理的觀測數(shù)據(jù)。參考文獻(xiàn)[10]和參考文獻(xiàn)[14]還提出了將改進(jìn)后的 CUSUM控制圖應(yīng)用于AR（1）過程或其他時(shí)間序 列過程的方法

4.4監(jiān)測自相關(guān)數(shù)據(jù)的控制圖比較

關(guān)于監(jiān)測自相關(guān)數(shù)據(jù)的控制圖之間的比較，已有文獻(xiàn)進(jìn)行了討論。參考文獻(xiàn)[10]和參考文獻(xiàn)[5]通 過數(shù)據(jù)模擬，對比了平穩(wěn)AR（1)過程的單值X控制圖、X殘差圖、CUSUM殘差圖、EWMA殘差圖，以 及EWMAST控制圖的效果。研究發(fā)現(xiàn)，EWMAST控制圖的表現(xiàn)要優(yōu)于CUSUM殘差圖和EWMA 殘差圖�？傮w來看，EWMAST控制圖的表現(xiàn)同樣優(yōu)于單值X控制圖和X殘差圖。模擬結(jié)果還表明， CUSUM殘差圖和EWMA殘差圖的效果相差無幾。當(dāng)過程自相關(guān)不強(qiáng)時(shí)，CUSUM殘差圖和EWMA 差圖的效果優(yōu)于X殘差圖。與之相反，當(dāng)過程自相 關(guān)較強(qiáng)時(shí)，X殘差圖的效果則要優(yōu)于其他殘差圖 當(dāng)過程自相關(guān)很強(qiáng)時(shí)，此時(shí)過程已近乎不平穩(wěn)，EWMAST控制圖的表現(xiàn)相對來說仍優(yōu)于其他控制圖。 應(yīng)用EWMAST控制圖的一個(gè)明顯的優(yōu)勢，就是不需要為平穩(wěn)過程數(shù)據(jù)構(gòu)建時(shí)間序列模型。EW MAST控制圖的使用，僅需要對過程處于受控狀態(tài)的過程均值、標(biāo)準(zhǔn)差和自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)�？傊� 當(dāng)過程存在自相關(guān)且平穩(wěn)時(shí)，宜使用 控制圖來監(jiān)測過程均值

參考文獻(xiàn)15」討論了兩種可用于監(jiān)測過程散度的控制圖：一種是基于目標(biāo)的指數(shù)加權(quán)均方差構(gòu)建 的，稱為指數(shù)加權(quán)均方差（EWMS)控制圖。另一種則是基于指數(shù)加權(quán)移動方差構(gòu)建的，稱為指數(shù)加權(quán) 移動方差（EWMV)控制圖，其過程均值由觀測值的EWMA控制圖估計(jì)得到。 假設(shè)《X，，t=1，2...)是過程均值為μ、方差為。且服從聯(lián)合正態(tài)分布的過程序列。指數(shù)加權(quán)移動 均方差的定義為：

其中t=1，2，；r為EWMS控制圖的平滑參數(shù)（0

圖7EWMS控制圖對AR（1)過程的實(shí)現(xiàn)（過程均值固定為0.過程方差出現(xiàn)兩次變化）

圖8用于圖7時(shí)間序列的EWMAST圖及控制限

6監(jiān)測自相關(guān)過程的其他方法

第4章和第5章討論了監(jiān)測過程數(shù)據(jù)存在自相關(guān)情況的控制圖。除了適應(yīng)自相關(guān)以外，也能通過 些數(shù)據(jù)處理的技巧來消除自相關(guān)的影響。參考文獻(xiàn)18討論了選擇采樣間隔對過程數(shù)據(jù)的影響。當(dāng) 過程是平穩(wěn)的且不那么頻繁地被采樣時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)會減弱。因此，當(dāng)采樣間隔足夠大時(shí)，數(shù)據(jù) 此不相關(guān)。然而，這種方法丟棄了采樣間隔中間的數(shù)據(jù)，而錯(cuò)過過程中重要事件的可能性被加大。除 了選擇較大的采樣間隔，還可以構(gòu)建窗口大小固定的過程移動平均。參考文獻(xiàn)[19］顯示，當(dāng)過程是平穩(wěn) 的且滿足一些常規(guī)條件時(shí)，不重疊的均值或批次均值近似彼此獨(dú)立且服從正態(tài)分布。因此，當(dāng)批次大小

足夠大時(shí)，批次均值可被看作白噪音。對某些特定的平穩(wěn)過程，許多參考文獻(xiàn)都討論了子樣本均值或批 次均值以及批次均值的相應(yīng)控制圖的表現(xiàn)。參考文獻(xiàn)[20]討論了使用廣義的平穩(wěn)過程移動平均消除自 相關(guān)的效果，以及在過程控制圖中的應(yīng)用

隨機(jī)過程《X，；tET】由一系列隨機(jī)變量構(gòu)成，其中T是指標(biāo)集[9。若T代表時(shí)間，則稱該隨機(jī) 過程為時(shí)間序列。當(dāng)T一系列離散值，如T三（0，土1，土2，·}時(shí)，該過程被稱為離散時(shí)間序列。在 本文件中，只討論時(shí)間間隔相等的離散時(shí)間序列。離散時(shí)間序列1，2，，可看作是一系列隨機(jī)變 量X，X，",X，的取值。序列a1，2，"，，又稱為X，X2，,X，的一個(gè)實(shí)現(xiàn)

A.2時(shí)間序列的自協(xié)方差和自相關(guān)系數(shù)

如果一個(gè)時(shí)間序列處于“統(tǒng)計(jì)平衡”狀態(tài)，則稱該時(shí)間序列是平穩(wěn)的。換言之，該時(shí)間序列的基本表 現(xiàn)并不隨時(shí)間而變化。在本文件中，若時(shí)間序列《X，；tET>滿足下列條件，則稱其是協(xié)方差平穩(wěn)的或 平穩(wěn)的： a）E[X,］=μ（即對所有t值均為常數(shù))； b）V[X,]=α

顯然p（0)=1。由此引出一些簡單的平穩(wěn)時(shí)間序列模型，見A.3.2和A.3.3。

若某一時(shí)間序列滿足下列條件，則稱其為白噪聲： a）X，同分布，其均值相同，方差相同且有限； b）對任意t1≠t2，自協(xié)方差(t1，t2）=0。 由條件2)可知，對任何間隔數(shù)不為0的情況，白噪聲的自相關(guān)系數(shù)恒為0。若《X，)是服從正態(tài)分 布的白噪聲，則是一個(gè)獨(dú)立同分布序列。

A.3.3一階自回歸[AR(1)過程

X：tE（0，±1.±2..））被稱為一階自回叭

.4平穩(wěn)時(shí)間序列的均值、自協(xié)方差和自相關(guān)系

過間序列的均值、自協(xié)方差和自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)

對于一次實(shí)現(xiàn)（：;t=1,2，"，N)），過程均值μ通常由算術(shù)平均或樣本均值元= N一進(jìn) 計(jì)。

A.4.2(）和p(）的估計(jì)

平穩(wěn)時(shí)間序列在間隔數(shù)為時(shí)的自協(xié)方差的估值為：（t） N O， 土1，，土（N一1）。若|>N，則自協(xié)方差的估值為OL9。特別是，當(dāng)T三0時(shí)，（O)是過程方差的估 值。實(shí)際工作中，通常用傳統(tǒng)的樣本方差S［估算公式的分母不是N，而是（N一1)來替代（0）。相 應(yīng)的自相關(guān)系數(shù)的估值，又稱為樣本自相關(guān)系數(shù)，通常用（t）：

A.5時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)性檢驗(yàn)

對過程數(shù)據(jù)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)是非常重要的。下面是兩種常用的樣本檢驗(yàn)方法。 a） 利用帶有置信帶的樣本自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖： 在N較大時(shí)，有限方差的獨(dú)立同分布序列X1，X2，""，X，的樣本自相關(guān)系數(shù)《（t）)，可以近 似看作一個(gè)服從N（0，1/N）分布的獨(dú)立同分布序列21)。若1，2，，是此序列一次實(shí) 現(xiàn)，則在間隔數(shù)大于1的樣本自相關(guān)系數(shù)中，大約有95%落在土1.96//N的范圍內(nèi)。這可用 于檢驗(yàn)過程數(shù)據(jù)是否存在自相關(guān)性22]。5.2介紹了一個(gè)真實(shí)的示例，展示了帶有置信帶的樣 本自相關(guān)函數(shù)ACF在過程數(shù)據(jù)自相關(guān)性檢驗(yàn)中的應(yīng)用。 b） 游程檢驗(yàn)： 樣本自相關(guān)函數(shù)ACF的使用，是基于平穩(wěn)過程的假設(shè)，過程均值是一個(gè)常數(shù)。然而，如果過程 的均值不是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)ACF圖則可能錯(cuò)誤地探測出強(qiáng)自相關(guān)性。在這種情況下，若仍 使用自相關(guān)函數(shù)ACF來檢驗(yàn)過程是否具有自相關(guān)性，就可能會得到錯(cuò)誤的結(jié)果。而游程檢驗(yàn) 能對自相關(guān)函數(shù)ACF圖進(jìn)行補(bǔ)充。對隨機(jī)性的游程檢驗(yàn)是一種基于上下游程的非參數(shù)檢 驗(yàn)[22]。參考文獻(xiàn)[221的第99～101頁給出了一個(gè)使用游程檢驗(yàn)的例子

過程數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性會影響傳統(tǒng)控制圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)過程控制的表現(xiàn)。下面的例子展示了正自相關(guān) 性對多種傳統(tǒng)控制圖的影響。模擬0<Φ<1、正態(tài)分布隨機(jī)噪音的平穩(wěn)一階自回歸AR(1)過程，生成 自回歸數(shù)據(jù)。所生成的均值為0、白噪音方差為1、鏈長為100、Φ分別為0、0.25、0.5、0.75、0.9的AR（1） 過程的五次實(shí)現(xiàn)，分別在圖B.1到圖B.5中進(jìn)行了展示，以給出自相關(guān)過程的影響。 本附錄用于展示在監(jiān)測過程均值變化中，不同程度的自相關(guān)性對受控狀態(tài)的平均鏈長（ARL)所代 表的第一類錯(cuò)誤以及對失控狀態(tài)的平均鏈長所代表的第二類錯(cuò)誤的影響。ARL是在出現(xiàn)一個(gè)信號之 前采集的平均樣本數(shù)（見GB/T17989.4：2020中的3.1.7）。理想的控制圖期望受控狀態(tài)的ARL盡可能 大，失控狀態(tài)的ARL盡可能小。也就是說，對理想的控制圖而言，若過程均值未發(fā)生變化，ARL宜取較 大值；若過程均值發(fā)生變化，ARL宜取較小值，以快速提示過程均值出現(xiàn)了變動。在模擬中，自相關(guān)程 度的變化通過改變AR（1)過程中的Φ值實(shí)現(xiàn)。對于Φ的每個(gè)取值，分別計(jì)算過程處于受控狀態(tài)和失控 伏態(tài)下的ARL值 模 少生成2000不時(shí)日 不穩(wěn)定的過程，均值在序列的模擬過程中會發(fā)生變化，然后據(jù)此計(jì)算鏈長。此時(shí)，只考慮過程均值的階 失變化么，以過程標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)表示，即均值突然發(fā)生變化，然后穩(wěn)定在一個(gè)新的水平上。計(jì)算2000個(gè) 予列鏈長的平均值，以得到失控狀態(tài)的平均鏈長。自相關(guān)性對單值X圖、CUSUM圖和EWMA圖的 影響亦得到了研究。單值X圖使用3c控制限。EWMA圖的平滑參數(shù)入取0.2，同樣使用3c控制限 CUSUM圖使用參考文獻(xiàn)[23]和參考文獻(xiàn)[3]里提到的ARL。表格化CUSUM圖中的參數(shù)取h=5.0 AR（1）過程實(shí)現(xiàn)的圖示

環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)圖B.1=0時(shí)AR(1)過程的實(shí)現(xiàn)

圖B.2Φ=0.25時(shí)AR(1)過程的實(shí)現(xiàn)

圖B.3Φ=0.5時(shí)AR(1)過程的實(shí)現(xiàn)

圖B.4Φ=0.75時(shí)AR(1)過程的實(shí)現(xiàn)

圖B.5Φ=0.9時(shí)AR(1)過程的實(shí)現(xiàn)

阻燃標(biāo)準(zhǔn)表B1研究結(jié)果（續(xù)）

研究結(jié)果如表B.1所示。表中第一列是自相關(guān)的程度，從沒有自相關(guān)Φ三0到更0.9。第二列針對 每個(gè)值，給出了均值變化的程度，以過程標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)表示（0、0.5、1.0、2.0、3.0個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差）。第三列給出 了單值X圖的表現(xiàn)。自相關(guān)的存在不會對受控狀態(tài)的ARL產(chǎn)生負(fù)面影響；當(dāng)Φ≤0.25時(shí)，自相關(guān)對失 控狀態(tài)的ARL影響較�。蝗欢�當(dāng)Φ≥0.5時(shí)，自相關(guān)對ARL影響較大；當(dāng)Φ增大時(shí)，受控狀態(tài)與失控狀 態(tài)的ARL都會增大；當(dāng)均值變化較小時(shí)，這種影響更顯著�？傊�，對于中等強(qiáng)度到高等強(qiáng)度的自相關(guān)， 單值X圖很難監(jiān)測到均值的小幅變化。 表中第四列和第五列分別給出了CUSUM圖和EWMA圖的表現(xiàn)。當(dāng)過程數(shù)據(jù)呈正自相關(guān)時(shí)，即 使只有0.25這樣弱的自相關(guān)，也會對受控狀態(tài)的ARL產(chǎn)生負(fù)面影響；當(dāng)$=0.25時(shí)，CUSUM圖和 EWMA圖的受控狀態(tài)ARL分別從Φ=0時(shí)的465.00和547.71減少到119.35和139.50，表明即使只出 現(xiàn)微弱的自相關(guān)，CUSUM圖和EWMA圖仍會頻緊發(fā)出錯(cuò)誤警報(bào)；另一方面，自相關(guān)性對CUSUM圖 和EWMA圖的失控狀態(tài)ARL的影響相對較小。因此，當(dāng)過程出現(xiàn)正自相關(guān)時(shí)，會嚴(yán)重影響CUSUM 圖和EWMA圖的受控狀態(tài)ARL，發(fā)出錯(cuò)誤警報(bào) 這里僅給出了正自相關(guān)序列的結(jié)果。因?yàn)閷?shí)際工作中，正自相關(guān)性是最常見的情形，如生物學(xué)。對 于負(fù)自相關(guān)性影響的研究，見參考文獻(xiàn)[51。同樣，只考慮均值出現(xiàn)的階躍變化