EWMA值可被視作所有以往觀測和當(dāng)前觀測的加權(quán)平均值，對正態(tài)假設(shè)并不敏感。因此，它是 交理想的適用于單個觀測數(shù)據(jù)的控制圖

4.3EWMA控制圖的控制限

若觀測值，彼此獨立，方差為。”，則之的方差見公

EWMA控制圖以序號i（或時間)為橫軸，2；為縱軸，其控制限的計算見公式（6)和公式（7)：

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cL=μ十L LcuoL

系數(shù)L用來確定控制限的寬度，它的值取決于置信水平。。 3o），因而設(shè)定了3控制限。與之類似，EWMA控制圖的置信水平可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整（例如：L，=2.7 對應(yīng)的置信水平為99.307%）。 只要，落在控制限內(nèi)時，就不需要進(jìn)行調(diào)整。一旦，落在控制限外，則認(rèn)為過程處于失控狀態(tài)。此 時，需要對過程進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后重新繪制EWMA控制圖。EWMA控制圖初始化時，不考慮調(diào)整前的 觀測數(shù)據(jù)。取之。為初始值。 隨著i增加，[1一（1一入）"］趨近于1。也就是說，EWMA控制圖使用一段時間后，控制限將趨近 于穩(wěn)定值，如公式（8）和公式（9）所示： 中心線三業(yè)

盡管如此，強烈推薦使用準(zhǔn)確的控制限 便監(jiān)測過程異常 寸性顯著提升， 注：在實際工作中，使用樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計

4.4EWMA控制圖的構(gòu)建

為了展示EWMA控制圖的建立過程，先利用歷史數(shù)據(jù)計算下列參數(shù)： u。=50 =2.0539 設(shè)定入=0.3.同公或（10）可得

設(shè)定入=0.3，同公或（10）可得

表1EWMA值的計算

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表1EWMA值的計算（續(xù)）

標(biāo)引序號說明： 1——Uc.=52.5885; 2——CL=50; 3——Lc.=47.4115。

在圖2所示的EWMA控制圖中，所有的EWMA數(shù)值對應(yīng)的點子均落在控制限內(nèi)，表明該過程 受控狀態(tài)

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本示例使用表2給出的觀測數(shù)據(jù)（3；）。前20個觀測值由均值10、標(biāo)準(zhǔn)差c三1的正態(tài)分布隨 機生成，后10個觀測值由均值=11、標(biāo)準(zhǔn)差。=1的正態(tài)分布隨機生成，換言之，過程均值出現(xiàn)了一個 標(biāo)準(zhǔn)差的偏移。 設(shè)定入=0.10,L，=2.7對表2中的數(shù)據(jù)建立EWMA控制圖， 過程均值的目標(biāo)值u=10，標(biāo)準(zhǔn)差。=1。 下面以第一個觀測值1=9.45為例，來說明計算過程。 對應(yīng)的EWMA統(tǒng)計量的第一個值可由公式（13）得出

( 9.945 00

如圖3所示，21=9.94500為EWMA控制圖中第一個點。 EWMA的第二個值由公式（14)得出：

2=2+( = 9.749 50

以此類推，可計算出EWMA統(tǒng)計量的其他值。 控制限由公式（15)和公式（16)得出： 對1.

對i=2，控制限由公式（17)和公式（18)得出：

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控制圖控制限的相關(guān)計算結(jié)果.EWMA控制圖如

表2EWMA控制圖的相關(guān)計算結(jié)果

從圖3中可以看出，上下控制限之間的寬度隨著讠的增加而增寬，最終逐漸接近穩(wěn)定值而趨于

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定。穩(wěn)定值可由公式（19）和公式（20）得出

EWMA控制圖的第29點和第30點 而發(fā)出警報，說明過程已失控。

5.1常規(guī)控制圖與EWMA控制圖

與常規(guī)控制圖不同，EWMA控制圖無法基于手樣本給出檢測過程偏移的概率。因為這一概率值 常數(shù)，它受先前樣本的影響。針對每個樣本都能計算出該概率值，但概率值的變化次數(shù)過多，沒有 價值。

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因此，用ARL（檢測出偏移所需的平均連續(xù)樣本數(shù))來衡量EWMA控制圖的有效性。 如果過程處于受控狀態(tài)，那么，期望虛發(fā)警報的概率很低，即虛發(fā)警報前的平均樣本數(shù)應(yīng)較天（通常 ARL在100到1000之間取值）。 另一方面，如果過程出現(xiàn)了偏移，期望能盡快發(fā)現(xiàn)該偏移，即從偏移發(fā)生到出現(xiàn)第一個超出控制限 的點之間的樣本數(shù)應(yīng)盡可能�。ˋRL較�。�。 與常規(guī)控制圖相比，EWMA控制圖對小幅和中等幅度的偏移更為有效：入值越小，有效性越高。而 常規(guī)控制圖對于監(jiān)測突然、大幅的偏移更有效。 EWMA控制圖的有效性與子組大小有關(guān)，n越大，有效性越高（見附錄D)

表3以/n作為偏移程度，給出了控制圖的ARL和MAXRL。因此，該表提供了對應(yīng)于各個偏移 程度的常規(guī)控制圖和EWMA控制圖的有效性。 例如，入=0.5，L，=2.979，n=1的EWMA控制圖，監(jiān)測到一個標(biāo)準(zhǔn)差的偏移平均需要14.9個樣本 （8/n=1）。若其他參數(shù)不變而n=4，則平均需要3.2個樣本（8/n=2）。 當(dāng)偏移=0（此時過程處于受控狀態(tài)）、ARL設(shè)定為370（與常規(guī)控制圖保持一致)時，EWMA控制 圖采用土3c//n控制限，針對不同的入值計算得到L值，如表3的表頭所示。由于表中所有控制程序的 虛發(fā)警報前的平均樣本數(shù)相同，故而能通過直接比較對應(yīng)六列中的數(shù)據(jù)，來對比不同控制程序的有效 性。如表3所示，較小的入值對監(jiān)測小幅偏移更有效（例如，當(dāng)/n=1，ARL從14.9降至7.6）；而監(jiān)測 大幅偏移時入值的影響不顯著（例如，當(dāng)/n=3，ARL僅從1.6降至1.5）。 根據(jù)行業(yè)的實際需要，事先設(shè)定ARL作為質(zhì)量控制的目標(biāo)。選取入和L，以滿足該設(shè)定的ARL，構(gòu) 建控制圖

表3EWMA與常規(guī)控制圖的對比

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表3EWMA與常規(guī)控制圖的對比（續(xù)）

5.3EWMA控制圖參數(shù)的選取

入值越小，賦予過去數(shù)據(jù)的權(quán)重則越大，監(jiān)測小幅偏移的有效性越好；而監(jiān)測大幅、突發(fā)的偏移的有 效性則不佳。 入值越大，賦予過去數(shù)據(jù)的權(quán)重則越小，EWMA控制圖就能夠更及時地監(jiān)測大幅、突發(fā)的偏移；而 監(jiān)測小幅偏移的有效性則不佳。 入的選取應(yīng)基于對過程積累的過往經(jīng)驗。實際應(yīng)用中，0.05<入≤0.50： 當(dāng)預(yù)估會發(fā)生緩慢偏移時，入宜在0.05～0.25之間取值； 當(dāng)預(yù)估會發(fā)生突發(fā)的、中等幅度的偏移時，宜選取接近0.5的入值。 最常用的入值為0.25≤入≤0.50。若選取入=1，得到的即是常規(guī)控制圖

表4給出了特定有效性對應(yīng)的EWMA控制圖參數(shù)。換言之，給定過程處于受控狀態(tài)的ARL.禾 福度為，的偏移時的ARLI，表4給出了對應(yīng)的L，和入值。 可接受的最大偏移幅度，的計算如公式（21）所示：

,=min ao Qo

步驟1：選定兩次虛發(fā)警報之間的平均樣本數(shù)（即ARL），通常為100～1000，從而選擇表4中 的某一列； 步驟2：選定監(jiān)測到可接受最大偏移幅度為，所需的平均樣本數(shù)（即ARL），然后在步驟1中 所選定的某列中找到最接近這一ARL的值，得出對應(yīng)的L，和入值，同時對應(yīng)行得到1/n，進(jìn) 而計算出n； 步驟3：若由于實際操作限制（成本、可行性等），得出的n值過大而無法滿足，應(yīng)重新回到步 驟1并適當(dāng)降低要求，調(diào)整選定的參數(shù)值（ARL。，ARL，，）。

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表4給定ARL和ARL及偏移.所對應(yīng)的L.和入值

注：若選取的ARL,低于1.40，使用常規(guī)控制圖

以如下的過程為例：均值的目標(biāo)值。100，標(biāo)準(zhǔn)差c。三0.8，選定ARL=500。監(jiān)測到幅度為土1 個單位的偏移（即可拒絕的均值上限U，=101、下限L，=99)的ARL為3或4。 一從表4中找到ARLo=500所對應(yīng)的列。 在該列中找到最接近3的ARL值�？烧业�3.5，對應(yīng)的L，=3.05、入=0.37，相應(yīng)的1Vn=2。 計算，=min(1/0.8；1/0.8）=1.25。由Vn=2可推出n=（2/1.25）=2.56蘭n=3，向上取 整，以提高監(jiān)測的有效性

6實施EWMA控制圖的程序

EWMA控制圖的實施與其他控制程序相同。EWMA控制圖的程序是基于如下假定：“好的”歷史 據(jù)已表明過程受控。EWMA控制圖用來檢驗來自相同生產(chǎn)過程的后續(xù)數(shù)據(jù)是否與歷史數(shù)據(jù)的分布 一致。使用EWMA控制圖之前，需用歷史數(shù)據(jù)估計過程均值的目標(biāo)值和過程標(biāo)準(zhǔn)差。之后進(jìn)人控制 階段，計算EWMA統(tǒng)計量并檢測其是否超出控制限。 計量數(shù)據(jù)EWMA控制圖的應(yīng)用示例見附錄A，用于監(jiān)控不合格品率和不合格數(shù)的EWMA控制圖

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按照附錄B和附錄C進(jìn)行構(gòu)造。

EWMA控制圖對非正態(tài)數(shù)據(jù)的敏感性

單值控制圖和EWMA控制圖均可用于子組天小為1的情形。但是單值控制圖對非正態(tài)數(shù)據(jù)較為 敏感，而設(shè)計合理的EWMA控制圖對正態(tài)假設(shè)并不敏感

EWMA控制圖的優(yōu)點如下： 常規(guī)控制圖僅使用當(dāng)前的觀測值或樣本來監(jiān)控過程。EWMA控制圖則使用之前所有的觀測 數(shù)據(jù)，賦予數(shù)據(jù)的權(quán)重隨著與當(dāng)前數(shù)據(jù)的久遠(yuǎn)程度增加而指數(shù)遞減。根據(jù)所選的入值 EWMA控制圖賦予最近的數(shù)據(jù)更大的權(quán)重。通過調(diào)整參數(shù)，能影響EWMA控制圖的“記憶 功能”。 b）對于非正態(tài)分布的質(zhì)量特性，EWMA控制圖的表現(xiàn)更為穩(wěn)健。

EWMA控制圖對過程的小幅偏移較敏感，但用于監(jiān)測大幅偏移的失控情況時，不如常規(guī)控制 圖反應(yīng)及時。故而，宜將控制限較寬的常規(guī)控制圖與EWMA控制圖聯(lián)合使用，從而同時監(jiān)測 過程均值的小幅和大幅偏移。 D 若所選的EWMA控制圖的入值較小，在生產(chǎn)的早期，EWMA控制圖去檢測偏移更為有效。 隨著生產(chǎn)的延續(xù)，若出現(xiàn)了一個趨勢，跟其他控制圖一樣，則該趨勢不會使EWMA控制圖馬 上超出控制限，錯誤地顯示過程處于受控狀態(tài)

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正顧客購買的產(chǎn)品劑量低于下限TL三99.5mL的概率不超過0.135%。同時考慮到經(jīng)濟原因，避免裝 藥過多，每瓶藥的劑量上限Tu設(shè)定為100.6mL。 當(dāng)過程處于統(tǒng)計控制狀態(tài)時，每瓶藥品劑量測量值的標(biāo)準(zhǔn)差s。=0.1mL（由150個測量值計算得 出），且藥品劑量認(rèn)為服從正態(tài)分布。為確保藥品劑量超出公差限的概率小于0.135%，劑量的均值允許 在公差限向內(nèi)3倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)波動。計算公式（A.1)和公式（A.2)如下

當(dāng)過程分布中心與公差中心一致，ARL為500。當(dāng)過程發(fā)生幅度超過3，三2的偏移時，要求能夠在 監(jiān)測2個～3個連續(xù)樣本后發(fā)現(xiàn)偏移。表4給出ARL。=500且ARL在2～3之間的對應(yīng)參數(shù)值： ARL,=2.50;0/n=2.5;L=3.07;入=0.52。 可推出，= Z. =1.5625，取n=2（向上取整，以提高檢測有效性）。 控制限如公式（A.3）和公式（A.4）所示：

當(dāng)過程分布中心與公差中心一致，ARL.為500。當(dāng)過程發(fā)生幅度超過8，=2的偏移時，要求能夠 則2個～3個連續(xù)樣本后發(fā)現(xiàn)偏移。表4給出ARLo=500且ARL在2～3之間的對應(yīng)參數(shù)值： ARL,=2.50;0/n=2.5;L,=3.07;入=0.52

控制限如公式（A.3)和公式（A.4)所示

初始值和目標(biāo)值均為μ。=100。 由先期研究得到，0。的初始值為0.1mL。 表A.1給出了控制過程中得到的樣本觀測值，并計算出樣本均值t；、樣本極差R，和EWMA統(tǒng)計量 的值

.1n2時常規(guī)控制圖和EWMA值的計算結(jié)果

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表A.1n=2時常規(guī)控制圖和EWMA值的計算結(jié)果（續(xù)）

圖A.1的第10個樣本的z，超出上控制限，過程出現(xiàn)偏移，宜進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整過程后，重新繪制新的

圖A.1的第10個樣本的z，超出上控制限，過程出現(xiàn)偏移，宜進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整過程后，重新繪制新的 控制圖,2二=100 。

標(biāo)引序號說明： Uc.=100.129; CL=100.000; Lc.=99.871

圖A.1用于監(jiān)控均值的EWMA控制圖

對過程的樣本極差R，繪制極差控制 4.2所示，并未發(fā)現(xiàn)過程的離散程度發(fā)生變化。前 見的偏移是均值的偏移，過程的離散程度沒有增大 注1：極差控制圖的中心線及控制限的計算方法見GB/T17989.2

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圖A.2監(jiān)控離散程度的極差控制圖

n=2、U，=3.09時，對應(yīng)的均值控制圖的控制限為100.22和99.78，并未發(fā)現(xiàn)過程發(fā)生偏移。 子組大小至n4，才能發(fā)現(xiàn)劑量值的偏移（如圖A.3所示），而質(zhì)量控制的成本也隨之?dāng)U大

圖A.3n=2、n=4時的均值控制圖

主2：本例說明，相比于常規(guī)控制圖，EWMA控制圖對均值的小幅偏移更為敏感。如果發(fā)生突然、大幅的偏移 規(guī)控制圖能更及時迅速地予以發(fā)現(xiàn)

規(guī)控制圖能更及時迅速地予以發(fā)現(xiàn)

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用于監(jiān)控不合格品率的EWMA控制圖

EWMA控制圖可用于監(jiān)控比例的變化。其用途與p圖和np圖相同，見GB/T17989.2。EWM 控制圖監(jiān)控小幅或中幅偏移更有效。

注：在伯努利實驗中，p。為不合格品率，方差為p。（1一po）。 下面來構(gòu)造EWMA控制圖。其上下控制限（U和L）的計算見公式（B.3)和公式（B.4)：

只要之；落在控制限內(nèi)，則過程處于受控狀態(tài)。若某一；值超出控制限，則過程發(fā)生偏移。 對過程進(jìn)行調(diào)整后，EWMA控制圖需要重新繪制并重新初始化，即令o=Po。過程調(diào)整之前的觀 測結(jié)果不宜被計算在內(nèi)。 當(dāng)子組大小相同（均為n）時，可直接使用每個子組的不合格品數(shù)，構(gòu)造與上述控制圖等價的

與計量數(shù)據(jù)的EWMA控制圖相同，計數(shù)數(shù)據(jù)的EWMA控制圖的有效性也使用ARL進(jìn)行評估， 如GB/T17989.1所述，即需要一定數(shù)量的連續(xù)樣本來檢測偏移。若過程受控，則虛發(fā)警報較少，即發(fā) 出一個虛發(fā)警報的平均樣本數(shù)較大（通常ARL在100和1000之間取值）。 另一方面，宜盡快監(jiān)測到過程發(fā)生偏移，即在偏移發(fā)生和出現(xiàn)第一個超出控制限的點之間的連續(xù)樣 本數(shù)應(yīng)盡可能少（即ARL很�。�。 與p圖（見GB/T17989.2)相比，EWMA控制圖更有效；與CUSUM控制圖（見GB/T17989.4)相 比，效果相當(dāng)。尤其小幅和中幅偏移的情況，EWMA控制圖的有效性明顯優(yōu)于p圖。而p圖對于突發(fā) 的、大幅偏移更為有效。 給定ARL，使用表4，按照5.3給出的方法，確定L，和入值。但是該表只適用于np。>5的情況。

使用控制圖監(jiān)控一個焊接過程的不合格品率。根據(jù)先前研究，受控過程的平均不合格品率P。為 0.01945（1.945%）。子組大小n為常數(shù)1600。 滿足np。>5的條件時，使用上述方法和表4。子組大小相同，繪制計數(shù)數(shù)據(jù)的EWMA控制圖，其 ARL。=370.且希望當(dāng)不合格品率達(dá)到0.028時能夠迅速監(jiān)測到過程偏移。公式（B.5)給出：

ARLo=370，由表4得到： 6Vn=2.5;>=0.54;L，=2.98;ARL=2.38 公式(B.7)和公式(B.8)可得到控制限

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o=ypo(1—p。）=0.1381

子組大小不變或變化很小時，以子組中不合格品數(shù)構(gòu)造的EWMA控制圖與上述控制圖等效，其參 數(shù)如下： 2。=np。=31.12蘭31個； 75。=220.96蘭221個； UcL=41.12蘭41個； LcL=21,12蘭21個。 使用每個子組中的不合格品數(shù)來計算之；

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城鎮(zhèn)建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范性） 用于監(jiān)控不合格數(shù)的EWMA控制圖

初始值z.為目標(biāo)值co。標(biāo)準(zhǔn)差由公式（C.2)估計：

下面來構(gòu)造EWMA控制圖。其上下控制限(Uc和Lc)的計算見公式(C.3)和公式(C.4)

只要之，落在控制限內(nèi)，則過程處于受控狀態(tài)。若某一之，值超出控制限，則過程發(fā)生偏移。 當(dāng)只有上控制限時，可以考慮單側(cè)的EWMA控制圖。此時，也能在EWMA控制圖上添加下控制 限，以監(jiān)測是否出現(xiàn)了質(zhì)量提升。進(jìn)而，分析造成這種提升的原因，使這樣的質(zhì)量提升得以保持。 對過程進(jìn)行調(diào)整后，EWMA控制圖宜重新繪制并重新初始化，即令。=co。過程調(diào)整之前的觀測 結(jié)果不宜被計算在內(nèi)。

與監(jiān)測不合格數(shù)的c圖相同，EWMA控制圖也可用于檢測不合格數(shù)。EWMA控制圖的有效性使 用ARL進(jìn)行評估。 若過程受控，則虛發(fā)警報較少，即發(fā)出一個虛發(fā)警報的平均樣本數(shù)較大（通常ARL在100和1000 之間取值）。 同時，要盡快監(jiān)測到過程發(fā)生偏移，即在偏移發(fā)生和出現(xiàn)第一個超出控制限的點之間的連續(xù)樣本數(shù) 應(yīng)盡可能少（即ARL很小）。 與c圖相比，EWMA控制圖更有效；與CUSUM控制圖相比，效果相當(dāng)。尤其小幅和中幅偏移的 青況，EWMA控制圖的有效性明顯優(yōu)于c圖。而c圖對于突發(fā)的、大幅偏移更為有效。 給定ARL，使用表4，按照本文件給出的方法，確定L，和入值。但是該表只適用于c。>5的情況。 最大可接受的偏移8，見公式（C.5）：

類似地，監(jiān)測單位不合格數(shù)的EWMA控制圖只需用u，uo，u,替換c，c。，ci即可

下例中，c。=10鍍鉻標(biāo)準(zhǔn)，則s=/10=3.16。 滿足co>5的條件，使用上述方法和表4，繪制不合格數(shù)的EWMA控制圖。當(dāng)c=c。時，ARL

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